多重背包问题(二进制倍增优化)

介绍

原题链接
多重背包问题就是给定每个物品的数量，那么多重背包的优化是利用二进制的倍增转换成了01背包问题。

首先讲解二进制倍增是个怎么回事

• 怎么说呢，举个例子吧，就是假如说这里有200个橘子，我们要选择n个橘子，那么暴力的做法就是一个一个的选直到选了n个橘子。
• 那我们用二进制优化是怎么做呢？
  其实就是将这些橘子分成8堆，每堆是1、2、4....64, 73，从第一堆到第7堆是一个等比数列公比为2，最后一堆可能是2的倍数也可能不是。这些堆就能表示0到200的任意数，比如说1，2能表示0~3，然后再加上个4就能表示4~7，算上0~3就能看出来1、2、4能表示0~7的任何数。
• 那么怎么看能表示多大的数呢？
  就是到了第m堆能表示的最大数是堆数x2-1 ，比如说到了堆数为4的堆，那么它能表示的最大的数为 4x2-1=7。
• 这一个最后不要128而要73呢？
  其实就是到了128它能代表的最大数为255，已经超过了200了，而我们选到了64能表示的最大数为127，那么我们只要加上73表示的最大数就是200了。

然后就是如何转换成01背包的问题了

其实关键的就是预处理的这段代码，就是分成了好多堆，然后就是选不选这个堆，这就是个01背包问题了。
朴素版的多重背包就是从0开始遍历物品的数量，这里我们是选择1、2、4的数量分成堆，然后把堆赋予属性--体积和价值，物品1分成若干堆了，然后就将下一个物品再分成若干堆......。

需要注意的点

• 预处理的时候
  预处理的时候注意不要少了 <code>s -= k 还有就是 if(s > 0) 这个如果成立代表的就是最后一堆不是前一堆的二倍了。
• 遍历的时候
  遍历的时候注意i的最大范围是堆的数量，也就是cnt的个数。

源码

#include 

using namespace std;

const int N = 12010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;

        int k = 1;
        while(k <= s)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }

        if (s > 0)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }

    }

    n = cnt;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

}